Question

第十题怎么做？高等数学难题

高等数学难题

Answer 1

1）由于g在[0,1]上连续，g（0）=0，g（1）=1，所以g(x)在[0,1]的值域为[0,1]且是满射
假设对于某给定x0，y不存在，则说明f(x0)>1，而f(x0)=∫f'(x)dx |0到x0 <∫g'(x)dx |0到x0<1矛盾，所以y肯定存在
假定有两个实数0<=y1 <y2 <=1满足f(x0)=g(y1)=g(y2)，则根据罗尔中值定理，在(y1,y2)上存在一点y3使得g'(y3)=0，显然和题设不合，所以y是唯一的，得证
2）g(x(n))=f(x(n-1))
由于f(x(n-1))=g(x(n))=∫g'(x)dx |0到x(n) >∫f'(x)dx |0到x(n)
f(x(n-1)) =∫f'(x)dx |0到x(n-1) >∫f'(x)dx |0到x(n)
又f'(x)>0恒成立，所以x(n)<x(n-1)
由于x的范围是[0,1]所以x(n)>0，x（n）单调减且有下确界，所以必然收敛
设x(n)收敛与r >0，则此时f(r)=g(r)，但是
f(r)=∫f'(x)dx |0到r < ∫g'(x)dx |0到r = g(r)显然不可能
所以x(n)必然收敛于0

追问

你这可牛逼啊😱