Question

高数定积分的题目

图中为题和答案 请教两个问题 ①请问答案方法二还考虑C0 怎么方法一就不考虑呢 ② 这个题可不可以直接求两次导 这样待证等式两边都等于f(x)

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Answer 1

1,常数C是用来补充求不定积分的上下平移的量，即∫f'(x)dx=f(x)+C，对于法二来说，其等式两端求导结果一样记为f'(x)，则原等式两端，左右两式都是f'(x)的一个原函数，而原函数就需要C来补充。反映到图像上就是一段曲线上下平移，而左右两式就是f(x)上下平移，一上一下的两个图像，自然相差一个常数C。而对于法一，他没有没有求原函数的步骤，仅仅是在形式上恒等变形，并求解了一个定积分，自然不会含有C。
2,求导两次是不行的，正如上面所说，一阶导导数相等，也只能说明左右式是f(x)在不同位置（上下）的两个函数，他们之间平移了C个单位，你再求二阶导，相等之后，反映的就是一阶导f'左(x)和f'右（x）是形状相同，但是他们的大小和图像上的位置关系也相差另一个常数C2个单位，你就需要反解出这个常数，但是这样是没必要的，对比法二的方法，他是走了一步回到原点，你是走了两步再回到原点，过程繁琐且没必要。
所以，导数相同只是证明形状一样，但是位置是可以上下平移的。于是就有了常数C，在不定积分上也正是同一个函数f(x)在不同位置f(x)+1,f(x)+100，f(x)+C的导数都是f'(x),不定积分正是此过程的逆运算。

Answer 2

方法二用了结论“若两个函数的导数相等，则该二函数至多相差一个常数”，所以才有C0出现。
方法一里都是普通定积分或积分上限为变量的定积分，也就是都是定积分，而定积分是不含有积分常数的，当然就不会出现类似方法二中C0的数。

追问

请问第二个问题呢 就是可不可以求两次导证相等

追答

理论上讲可以，但第二次求导多余，因为第一次求导之后二者已经相等了：∫(0, x) f(u)du＝∫(0, x) f(t)dt，再求导没必要。

Answer 3

不定积分相等，原式子相等。求导相等，原式子不一定相等，所以要验证。你求导俩次，需要验证俩个c 才行，

追问

请问 第一个问题呢

追答

就是我说的第一句话