Question

线性代数的伴随矩阵问题求解答

题目如下图，不太理解红线部分的内容是怎么来的，为什么AA*=|A|E就可以知道a1，a2，a3，a4是方程的A*X=0的解啊？？？求大佬解答

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Answer 1

因为Ax=0基础解系中只有一个向量，所以n=4-r（A）=1（方程系数矩阵中自由未知量=n），由此式可得：r（A）=4-1=3；
由伴随矩阵的秩与原矩阵秩的关系可知 r（A*）=1，其基础解系有4-r（A伴随）=3个解向量；
a1，a2，a3，a4
A伴随×A=|A|E=0（这因为A不是满秩所以A的行列式一定为零，满秩的概念，就是n阶矩阵秩=n，这里4阶矩阵的秩为3所以行列式为0）也可以理解成A有一个特征向量=0所以|A|=0；；给你写成A*A=0（不是你写的AA*，伴随是左乘），和A*x=0比较观察一下，A的列向量不就是x的取值嘛，所以x=a1，a2，a3，a4，从这其中找出三个（看上一段分析，A*x=0的基础解系是由三个解向量组成的）找线性的无关过程，答案那个就挺详细。所以后面的知道了吧……不懂再追问。

Answer 2

首先解释(A)=3。这是因为其次线性方程Ax=0的基础解系中只有一个解向量(1，0，1，0)，所以n-r(A)=4-r(A)=1，得出r(A)=3,；
由伴随矩阵的秩与原矩阵秩的关系,因r(A) =3,从而|A|=0,而AA*=|A|E=O,所以伴随阵A*的列向量都是方程Ax=0的解，且基础解系的列向量只有n-3=1个，得r（A*）=1，齐次方程A*x=0基础解系有4-r(A*)=3个解向量；
而1a1+0a2+1a3+0a4=0，即a1+a3=0，即a1、a3线性相关，因此a1、a2、a4线性无关a2、a3、a4线性无关。

Answer 3

Answer 4

不是满秩 所以行列式为0 也就是A乘以A的伴随矩阵为0， 对于一个AB=0等式来说，B的列就是A的解，所以AA*=0 这里A*的列可以当方程的解 同理A*A=0也可以说明A的列就是方程的解，

Answer 5

注意|A|=0，
所以A*A=A*（α1，α2，α3，α4）=0
（注意，这里最后右边那个0是nxn的零矩阵）
也就是A*α1=0，A*α2=0，……。
这不就意味着α1，α2，α3，α4都是A*x=0的解了吗？