Question

一道高数题？

求I=∫∫(4-x^2-y^2)^1/2 dxdy，其中D:x^2+y^2<=4,y>=0

Answer 1

令x=rcosθ，y=rsinθ r∈[0，2]，θ∈[0，π]
所以I=∫(0，π) dθ∫(0，2) ∨(4－r²) rdr
=π/2 ∫(0，2) ∨(4－r²) dr²
=π/2 [－2/3 (4－r²)^(3/2)]|(0，2)
=π/2 [0＋16/3]
=8π/3

Answer 2

有界区域，你看看函数，有两个地方是有发散的“危险的”，就是0和1处，在这两个附近函数值都趋于正无穷。所以我们要分别判断这两点附近函数的行为来确定是否收敛。分为分成0到1/2
和1/2到1
两个区间就是来分别研究这两个奇点。
打个预防针，
一
最常见的讨论在0处积分收敛性的函数是(1/x)^p，在0附近，当p>=1时候积分是发散的，p<1时候积分是收敛的。其实这体现了一个思想，虽然函数在0处很大，但如果大得不够快，积分仍然是收敛的。
而这个最快的速度的分界线就是1/x，比他趋于无穷还快的话，那就没可能收敛了~
二
lnx在x趋于无穷大的时候虽然发散，但发散速度比x的任何正的代数次方都慢。
也就是lnx/x在无穷远处极限为0。如果分母x上面有次数，比如x^p,p>0，你只要令t=x^p,就可以得到类似的结论。分子也一样，因为(lnx)^p/x=[lnx/x^(1/p)]^p
里面极限是0~
总之你记住，lnx当x趋于无穷的时候，发散的速度是很慢的，它的任何正次方和x的任何正次方相比都是小量~
下面进入正题：
首先，对于在0附近，分子等价于x^(2/m),分母还是x^(1/n),那么整个式子就是(1/x)^(1/n-2/m);
由于m，n都是正整数，所以1/n-2/m<1/n<=1,总是小于1的(第一个不等号是严格的！)，根据预防针一，在0处是收敛的，不管m，n具体是神马。
其次看1附近的行为，分母趋于1，忽略之~
分子做个变换就是(lnx)^(2/m)在0附近的积分了。
如果你看懂预防针二的话这里也就很明显了。原因是(lnx)^(2/m)=(-ln(1/x))^(2/m)
和(1/x)^0.5相比是小量，后者积分收敛。
其实他在0处发散的速度比(1/x)^p，p>0都要慢。

Answer 3

第一步：积分区域。
令x=rcosθ，y=rsinθ
积分小区域为rdrdθ。
为以坐标原点为圆心，半径r为2的上半圆。
半径r区间[0,2]，极坐标角度θ的区间[0,π]。
第二步：被积函数。
被积函数为根号(4-r^2)
第三步：二重积分
dθ|[0,π]根号(4-r^2)rdr|[0,2]
=π根号(4-r^2)d(4-r^2)/2|[2,0]
=π(4-r^2)^(3/2)/3|[2,0]
=π[4^(3/2)-0]/3
=8π/3

Answer 4

这个不难，就是S(0->pi)dθS(0->2)根号(4-r^2)rdr=1/2*S(0->pi)dθS(0->2)根号(4-r^2)d(4-r^2)=-pi/3*根号[(4-r^2)]^3(0->2)=8pi/3.

Answer 5

这个很简单
令分子等于 t，则 t 趋于0
例如，2^x-1=t，可得 x=ln（t+1）/ln2
那么原极限就是
lim（t->0）[t*ln2]/ln（t+1）
=lim（t->0）ln2/ln（t+1）^1/t
利用 lim（t->0）（t+1）^1/t = e
即可得到 lim（t->0）ln2/ln（t+1）^1/t = ln2
同理可得 ln3