Question

高中数学 这道题 有没什么比较巧妙的解法





Answer 1

ABC在以AC为直径的圆上，AC中点E，球心O，OE⊥平面ABC，根据对称性，P是OE与球面的交点。两个解，P，P'，PP'是球的直径。ΔPAP',ΔPBP'，ΔPCP'是全等直角三角形。

追答

先固定平面ABC到球心的距离，也就固定了三棱锥P-ABD的高PE或P'E，调整直角三角形ABC的角度，使得ΔABD面积最大。

设AC=2r，∠BAC=θ
AB=2rcosθ，AD=ABcosθ=2rcos²θ，
BD=ABsinθ=2rcosθsinθ=rsin2θ
SΔABD=0.5AD.BD
=0.5 ×2rcos²θ. rsin2θ
=0.5r²（1十cos2θ）sin2θ
=0.5r²（sin2θ十0.5sin4θ）

几何法，B关于直线AC对称到B'，ΔABB'=2ΔABD，ΔABB'是圆内接Δ，等边时面积最大。此时θ=60°/2=30°

前面拉了2，最大面积是r²3√3/8