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1729年~1764年,哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中,哥德巴赫提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6的偶数,都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个≥9的奇数,都可以表示成三个奇质数之和。这就是所谓的哥德巴赫猜想。
在信中他写道:“我的问题是这样的:
随便取某一个奇数,比如77,可以把它写成三个素数之和:
77=53+17+7;
再任取一个奇数,比如461,
461=449+7+5,
也是三个素数之和,461还可以写成257+199+5,仍然是三个素数之和。这样,我发现:任何大于9的奇数都是三个素数之和。
但这怎样证明呢?虽然做过的每一次试验都得到了上述结果,但是不可能把所有的奇数都拿来检验,需要的是一般的证明,而不是个别的检验。”
欧拉回信说:“这个命题看来是正确的”。但是他也给不出严格的证明。
同时欧拉又提出了此一猜想可以有另一个等价的版本:任何一个大于2的偶数都是两个素数之和,但是这个命题他也没能给予证明。不难看出,哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。
哥德巴赫猜想最初的内容也可表述为:
任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
而今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
事实上,任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式:2N+1=3+2(N-1),其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立,则偶数2N可以写成两个素数之和,于是奇数2N+1可以写成三个素数之和,从而,对于大于5的奇数,哥德巴赫的猜想成立。
但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。
6=3+3; 8=3+5; 10=3+7; 12=5+7; 14=3+11;
16=3+13; 18=5+13; 20=3+17; 22=3+19; 24=5+19;
26=3+23; 28=5+23; 30=7+23; 32=3+29; 34=3+31;
36=5+31; 38=7+31; 40=3+37; 42=5+37; 44=3+41;
46=3+43; 48=5+43; 50=3+47; 52=5+47; 54=7+47;
56=3+53; 58=5+53; 60=7+53; 62=3+59; 64=3+61;
66=5+61; 68=7+61; 70=3+67; 72=5+67; 74=3+71;
76=3+73; 78=5+73; 80=7+73; 82=3+79; 84=5+79;
86=3+83; 88=5+83; 90=7+83; 92=3+89; 94=5+89;
96=7+89; 98=19+79; 100=3+97;
(b) 任何一个≥9的奇数,都可以表示成三个奇质数之和。这就是所谓的哥德巴赫猜想。
在信中他写道:“我的问题是这样的:
随便取某一个奇数,比如77,可以把它写成三个素数之和:
77=53+17+7;
再任取一个奇数,比如461,
461=449+7+5,
也是三个素数之和,461还可以写成257+199+5,仍然是三个素数之和。这样,我发现:任何大于9的奇数都是三个素数之和。
但这怎样证明呢?虽然做过的每一次试验都得到了上述结果,但是不可能把所有的奇数都拿来检验,需要的是一般的证明,而不是个别的检验。”
欧拉回信说:“这个命题看来是正确的”。但是他也给不出严格的证明。
同时欧拉又提出了此一猜想可以有另一个等价的版本:任何一个大于2的偶数都是两个素数之和,但是这个命题他也没能给予证明。不难看出,哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。
哥德巴赫猜想最初的内容也可表述为:
任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
而今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
事实上,任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式:2N+1=3+2(N-1),其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立,则偶数2N可以写成两个素数之和,于是奇数2N+1可以写成三个素数之和,从而,对于大于5的奇数,哥德巴赫的猜想成立。
但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。
6=3+3; 8=3+5; 10=3+7; 12=5+7; 14=3+11;
16=3+13; 18=5+13; 20=3+17; 22=3+19; 24=5+19;
26=3+23; 28=5+23; 30=7+23; 32=3+29; 34=3+31;
36=5+31; 38=7+31; 40=3+37; 42=5+37; 44=3+41;
46=3+43; 48=5+43; 50=3+47; 52=5+47; 54=7+47;
56=3+53; 58=5+53; 60=7+53; 62=3+59; 64=3+61;
66=5+61; 68=7+61; 70=3+67; 72=5+67; 74=3+71;
76=3+73; 78=5+73; 80=7+73; 82=3+79; 84=5+79;
86=3+83; 88=5+83; 90=7+83; 92=3+89; 94=5+89;
96=7+89; 98=19+79; 100=3+97;
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