Question

高中数学不等式第二问题，求过程

如果我没记错，m的最大值M应该是1
我的错误做法见图2，可惜放缩过头了没证出来

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Answer 1

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Answer 2

令f(x)=|x+1|+|x|+|x-1|,

x＜-1时，f(x)=-x-1-x-x+1=-3x

-1≤x＜0时，f(x)=x+1-x-x+1=2-x

0≤x＜1时，f(x)=x+1+x-x+1=2+x

x≥1时，f(x)=x+1+x+x-1=3x，图像如下所示。

可见f(x)的最小值为2，要使f(x)≥|m+1|恒成立，则要求|m+1|≤2

由此可知，-3≤m≤1

（2）根据第一问可知，m的最大值为1，故M=1。

所以a+2b+3c=M=1。可见0＜a＜1,0＜b＜1/2，0＜c＜1/3。

将1=a+2b+3c代入所求式中有：

原式=1/(2a+b)+1/(b+2c)=(a+2b+3c)/(2a+b)+(a+2b+3c)/(b+2c)

(a+2b+3c)/(2a+b)=0.5+1.5(b+2c)/(2a+b)

(a+2b+3c)/(b+2c)=1.5+0.5(2a+b)/(b+2c)

两式相加就变成2+1.5(b+2c)/(2a+b)+0.5(2a+b)/(b+2c)

利用公式a+b≥2√(ab)，很容易得到结果。

Answer 3

五故事你就可以应该可以去做了。

Answer 4

(1)|x+1|+|x|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|+|x| (-1≤x≤1时取"=")
=|x|+2≥2 (x=0时取"=")
即|x+1|+|x|+|x-1|≥2,且x=0时取"="
|x+1|+|x|+|x-1|的最小值是2
m可取的充要条件是 2≥|m+1|
-3≤m≤1
所以m的取值范围是[-3,1]
(2)由(1) M=1
a,b,c都是正数,a+2b+3c=1
(2a+b)+3(b+2c)=2(a+2b+3c)=2
2a+b>0,b+2c>0,(2a+b)+3(b+2c)=2
2[1/(2a+b)+1/(b+2c)]

=[(2a+b)+3(b+2c)][1/(2a+b)+1/(b+2c)]
≥[(√(2a+b))·(1/√(2a+b))+(√(3(b+2c)))·(1/√(b+2c))]² (柯西不等式)
=(1+√3)²=4+2√3
2[1/(2a+b)+1/(b+2c)]≥4+2√3
所以 1/(2a+b)+1/(b+2c)≥2+√3