Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x^2-2x,则当x∈[-3,0），求f(x)的值域。

Answer 1

当x≥0时，f(x)=x^2-2x
当x<=0时
则-x>=0
则f(-x)=(-x)^2-2*(-x)=x^2+2x
因为f(x)是定义在R上的奇函数
则有f(-x)=-f(x)=x^2+2x
f(x)=-x^2-2x
所以发x∈[-3,0）时
f(x)=-(x^2+2x+1)+1=-(x+1)^2+1
因为对称轴是x=-1
|-3-(-1)|=2 |0+1|=1
-3离对称轴最远，所以
当x=-1时有最大值1，当x=-3时有最小值-3
所以f(x)在x∈[-3,0）值域是[-3，1]

Answer 2

当x≥0时，f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1，
所以 当x∈（0，3]时，f(x)∈[-1，3]。
因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)关于原点对称，
当x∈[-3,0），求f(x)的值域为：[-3，1]。

Answer 3

可以先求出x∈(0,3]，f(x)的值域：
f(x)=(x-1)^2-1，开口向上对称轴为1的抛物线
当0<x<=3时，
x=1时，f(x)最小，f(1)=-1;
x=3时，f(x)最大，f(3)=3;
所以f(x)∈[-1,3]。
由于f(x)是奇函数，所以x∈[-3,0)，f(x)∈[-3,1].