Question

n次Lagrange插值

Answer 1

我们考虑n次Lagrange多项式插值问题式（6－1）、式（6－2），显然，满足条件的n次插值多项式可由下面的方程组确定：

地球物理数据处理基础

写成矩阵形式

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依据插值问题的唯一性，并仿照二次插值的Lagrange形式来构造n次的Lagrange插值多项式。

令

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其中，l_i（x）（i＝0，1，…，n）为n次的Lagrange插值基函数，也应该是n次多项式形式。不妨令

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其中，A为常数，代入条件l_i（x_i）＝1，有

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把式（6－24）代入式（6－23）中，得到

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所以，便有

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公式（6－26）即为n次的Lagrange插值多项式。

不难看出，线性插值、二次插值分别是Lagrange插值多项式n取1，2情况的特例。因此，根据式（6－25）的Lagrange插值基函数形式，我们很容易得到任意m（m<n）次插值多项式。

［例1］已知离散函数通过以下四点（表6－1），试作一个三次拉格朗日插值多项式。

表6－1 离散函数对应点

解：由式（6－26）有

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整理得

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