Question

证明：实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量一定正交。

证明：实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量一定正交。

Answer 1

设x1，x2是实对称矩阵A的属于不同特征值k1，k2的特征向量，则
Ax1=k1x1，Ax2=k2x2，从而
k1(x1,x2)=(k1x1,x2)=（Ax1,x2）=(x1,Ax2)=(x1,k2x2)=k2(x1,x2)
由于k1，k2不同，从而(x1,x2)=0，即他们正交。这里小括号表示欧式内积。