Question

设矩阵A= 2 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 2 ,求正交矩阵T使T的负一次方AT=T＇AT为对角矩阵。

Answer 1

|A-λE|=
2-λ
-1
-1
-1
2-λ
-1
-1
-1
2-λ
c1+c2+c3
r2-r1,r3-r1
行列式化为上三角形
|A-λE|=-λ(3-λ)^2
故A的特征值为
0,3,3
Ax=0
的基础解系为
a1=(1,1,1)^T
单位化为
b1=(1/√3,1/√3,1/√3)^T
(A-3E)x=0
的基础解系为
a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,1,-2)^T
已正交.
单位化为
b2=(1/√2,-1/√2,0)^T,b3=(1/√6,1/√6,-2/√6)^T
令
P
=
(b1,b2,b3)
=
1/√3
1/√2
1/√6
1/√3
-1/√2
1/√6
1/√3
0
-2/√6
则P为正交矩阵,且
P^-1AP
=
P^TAP
=
diag(0,3,3).

Answer 2

1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
|a-λe|
=
1-λ
-1
-1
-1
1-λ
-1
-1
-1
1-λ
=
-(λ
+
1)(λ
-
2)^2
所以a的特征值为
-1,
2,
2
解出
(a+e)x=0
的基础解系:
a1=(1,1,1)^t
解出
(a-2e)x=0
的基础解系:
a2=(1,-1,0)^t,a3=(1,0,-1)^t
将a2,a3正交化得
b1=(1,1,1)^t
b2=(1,-1,0)^t
b3=(1/2,1/2,-1)^t
单位化得
c1
=
(1/√3,
1/√3,1/√3)^t
c2
=
(1/√2,
-1/√2,
0)^t
c3
=
(1/√6,
1/√6,
-2/√6)^t
得正交矩阵t
=
1/√3
1/√2
1/√6
1/√3
-1/√2
1/√6
1/√3
0
-2/√6
则有
t^(-1)at=t'at
=
diag(-1,2,2).
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