Question

什么是微分中值定理？

Answer 1

微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。

有以下定理：

1、拉格朗日定理。

2、柯西定理。

3、罗尔定理。

4、泰勒公式。

5、达布定理。

6、洛必达法则。

Answer 2

罗尔定理
　　内容：
　　如果函数f(x)满足：
　　在闭区间[a,b]上连续；
　　在开区间(a,b)内可导；
　　在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得
f'(ξ)=0.
　　几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧
（方程为
）是一条连续的曲线弧
，除端点外处处有不垂直于
轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明，
　　弧上至少有一点
，曲线在该点切线是水平的.：
拉格朗日定理
　　内容：
　　如果函数
f(x)
满足：
　　1)在闭区间[a,b]上连续；
　　2)在开区间(a,b)内可导。
　　那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，
　　使等式
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)
成立。
柯西中值定理
　　内容：
　　如果函数f(x)及f(x)满足
　　(1)在闭区间[a,b]上连续；
　　(2)在开区间(a,b)内可导；
　　(3)对任一x(a,b)，f'(x)≠0
　　那么在(a,b)
内至少有一点ξ，使等式
　　[f(b)-f(a)]/[f(b)-f(a)]=f'()/f'(ξ)
　　成立
　　[中值定理]分为：
微分中值定理和积分中值定理：
　　以上四个为微分中值定理
定积分第一中值定理为：
　　f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)（存在ξ使得该式成立）