Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn,又有数列｛bn｝，他们满足b1=a1,且对任意n∈正整数有an+Sn=n,b(n+1)=a(n+1)-

Answer 1

求证｛bn｝是等比数列，就要证明｛bn｝的连续两项只差为一个常数K，证明如下：
b(n+1)=a(n+1)--an，bn=an-a(n-1)
；所以b(n+1)/bn=[a(n+1)--an]/[an-a(n-1)]
由于an+Sn=n，所以a(n+1)+S(n+1)=n+1,a(n-1)+S(n-1)=n-1,S(n+1)=S(n-1)+an+a(n+1).
以上三个式子与an+Sn=n联立方程组可得：2a(n+1)+an-a(n-1)=2.可得：an-a(n-1)=2-2a(n+1)
同理：a(n-1)+S(n-1)=n-1，an+Sn=n,Sn=S(n-1)+an。可得：2a(n+1)-an=1，a(n+1)-an=1-a(n-1)
而a1=s1=0.5,所以b1=0.5，可得[a(n+1)--an]/[an-a(n-1)]=0.5。题目可证

Answer 2

an+Sn=n
a(n+1)+S(n+1)=n+1
两式相减，得
2a(n+1)-an=1
a(n+1)=(1+an)/2，且b(n+1)=a(n+1)--an=1-a(n+1)
对任意n>=2，
b(n+1)=1-a(n+1)=1-(1+an)/2=(1-an)/2=bn/2
因此只要n>=2，就有b(n+1)/bn=1/2
对an+Sn=1，令n=1，则a1+S1=1
而S1=a1
因此2*a1=1
a1=1/2
令n=2
a2+S2=2
2*a2+a1=2
a2=(2-a1)/2=3/4
因此b2=a2-a1=1/4=a1/2=b1/2
也就是说对n=1也有b(n+1)/bn成立
因此{bn}是等比数列