Question

如图三角形ABC中,角ACB=90度,角平分线AD与高CH交与F点,DE垂直AB于E,求证:四边形CDEF是菱形。

Answer 1

CF‖DE,（都⊥AB）.⊿ACD≌⊿AED（AAS）∴CD＝DE. AC＝AE ⊿AEC≌⊿AFE（SAS）
∴CF＝FE.⊿CDF≌⊿EDF（SSS）∴∠FED＝∠FCD＝∠EDB,∴FE‖CD,
∵CF‖DE,FE‖CD,∴CDEF是平行四边形，又CD＝DE，CDEF是菱形。

Answer 2

1)在直角三角形ACD和AED中由于斜边AD为两个直角三角形的公共斜边，可以得出CD=ED
2)在直角三角形ACD和AHF中 角CAD=角EAD 得出角CDA=角HFA 而角HFA=角DFC 所以可知三角形CDF为等腰三角形，即CD=CF
3) CH垂直于AB 和 DE垂直于AB 所以可知 CF平行ED 由1)和2)可知CF=ED，所以可知四边形CDEF为平行四边形。
4)综合1)、2)、3)由菱形判定的性质（有一组邻边相等的平行四边形）可知四边形CDEF为菱形。

Answer 3

易得出DE=CD
DE平行CF
角ADE=ADC
又FD=FD
故三角形FDE全等于FDC
角FDE=FDC
又角FDE=DFC
DFE=DFC
故角FDC=DFE
故CD平行FE
CDEF为平行四边形
CD=DE
故CDEF为菱形