Question

数列1/n的平方求和公式是什么？

Answer 1

1＋1/2²＋1/3²＋
…
＋1/n²→π²/6
这个首先是由欧拉推出来的，要用到泰勒公式，属于大学范围
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将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋
…
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋
…
令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋
…
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理，常数项为1时，根的倒数和＝一次项系数的相反数
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋
…
＝π²/6