Question

高中解析几何

1. 设椭圆C：x^2/a^2+y^2/2=1(a＞0)的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点， 且向量AF1·向量F1F2=0，坐标原点O到直线AF1的距离为1/3向量OF1. （1）求椭圆C的方程 （2）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点M， 若向量MQ的模=2向量QF的模，求直线l的斜率

Answer 1

解
①：因为向量AF2*向量F1F2=0，所以AF2⊥F1F2。又做ON⊥AF1，
坐标原点O到直线AF1的距离为1/3丨OF1丨，所以ON/OF1=1/3.
又∵ONF1∽AF2F1,∴AF2/F1F2=ON/OF1.
又∵
AF2⊥F1F2，令A为（x,y),∴AF2=y,F1F2=2√a
有等式：ON/OF1=1/2√2=y/2√a
,∴y=√2a)/2
又∵x=√a,∴A为[√（a^2-2),(√2a)/2],带入原方程,
得到：a^3=8,∴a=2(a＞0)
所以椭圆C的方程为:x^2/4+y^2/2=1
②.
因为丨向量MQ丨=2丨向量QF丨，
所以点F是线段MQ的中点
令点Q为(x,y)-2
,
∴x=-2
，
把点Q带入在椭圆得
y=0
，
所以点Q的坐标为（-2.0)在x轴上
所以直线l的斜率k=0