Question

高中数学求椭圆离心率

椭圆x*x/a*a+y*y/b*b=1 (a>b>0) 左焦点为F1(-c,0) , A(-a,0),B(0,b)是两个顶点,如果F1到直线AB的距离为b/跟号(7),求椭圆离心率?
是我们资料书上的,我看不懂解答,求解谢谢大家了,最好每一步详细点,我数学基础差.谢谢大家.

Answer 1

∵A(-a,0),B(0,b)
AB的方程为：y=(b/a)x+b==>bx-ay+ab=0
∵F1到AB的距离为：d=|-bc+ab|/√(a^2+b^2)=b/√7
∴|a-c|/√(a^2+b^2)=1/√7
a^2-2ac+c^2=7a^2+7b^2,而b^2=a^2-c^2
7a^2-14ac+7c^2=a^2+b^2==>7a^2-14ac+7c^2=2a^2-c^2==>5a^2-14ac+8c^2=0
∴5-14e+8e^2=0==>e1=1/2, e2=5/4(舍去)
∴e=1/2
思路：根据A，B两点的坐标，求出AB所在直线的方程，由F1到直线的距离和已知条件得到等式，找到A和C的关系式，利用齐次式求得e，再利用椭圆离心率的范围限定。

Answer 2

AB的方程是：y=(b/a)x-b,即bx-ay-ab=0
所以F1到AB的距离为：d=|b(-c)+ab|/(a^2+b^2)^0.5
又d=b/7^0.5，所以|a-c|/(a^2+b^2)^0.5=1/7^0.5
7a^2-14ac+7c^2=a^2+b^2,而b^2=a^2-c^2
因此上式可以整理成：5a^2-14ac+8c^2=0，即 8e^2-14e+5=0
所以（2e-1）（4e-5）=0所以e=1/2或者5/4，又e在0到1之间，所以e=1/2

Answer 3

解析：∵A(-a,0),B(0,b)
AB的方程为：y=(b/a)x+b==>bx-ay+ab=0
∵F1到AB的距离为：d=|-bc+ab|/√(a^2+b^2)=b/√7
∴|a-c|/√(a^2+b^2)=1/√7
a^2-2ac+c^2=7a^2+7b^2,而b^2=a^2-c^2
7a^2-14ac+7c^2=a^2+b^2==>7a^2-14ac+7c^2=2a^2-c^2==>5a^2-14ac+8c^2=0
∴5-14e+8e^2=0==>e1=1/2, e2=5/4(舍)
∴e=1/2

Answer 4

可以用数形结合：
过F1作AB垂线交AB于C
所以CF1=b/√7,
⊿ACF1∽⊿AOB
∴CF1/AF1=OB/AB
∴(b/√7)/(a-c)=b/√(a^2+b^2)
∴√7(a-c)=√(a^2+b^2)
∴7a^2-14ac+7c^2=a^2+b^2,而b^2=a^2-c^2
∴5a^2-14ac+8c^2=0，即 8e^2-14e+5=0
∴e=1/2或者5/4，又e在0到1之间，所以e=1/2

Answer 5

1/2