Question

高三几道数学题

1.已知数列{an}的前n项和为sn，且a1=1，na（n+1）=（n+2）sn，求数列{an}的通项公式，及前n项和sn。（n∈N*） 2.已知抛物线x²=4y及定点P(0,8),A、B是抛物线上的两动点，且向量AP=λ向量PB（λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M. (1）证明：点M的纵坐标为定值 （2）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP？证明你的结论。

Answer 1

好久不做高中题目了，步骤会很不规范，只能提供大致思路。
1）s(n)=n/(n+2)*a(n+1),同时s(n-1)=(n-1)/(n+1)*a(n),两式相减，得a(n)=n/(n+2)*a(n+1))-(n-1)/(n+1)*a(n)
经过整理，得，a(n+1)/an=2*(n+2)/(n+1)
递推得，a(n)/a(n-1)=2*(n+1)/n,a(n-1)/a(n-2)=2*n/(n-1),.....,a(3)/a(2)=2*4/3,a(2)/a(1)=2*3/2
各式相乘，得，a(n)/a(1)=[2^(n-2)]*(n+1)
所以，a(n)=)=[2^(n-2)]*(n+1)
s(n)=n/(n+2)*a(n+1)=n/(n+2)*[2^(n-1)]*(n+2)=n*[2^(n-1)]
2)令A点坐标为（x1，x1²/4），B点坐标为（x2，x2²/4）。
设过点A的切线满足y=kx+b，将其与y=x²/4联立，得方程x²/4-kx-b=0，由于是切线，因此Δ=0,即k²+b=0。将点A坐标带入切线方程，又得到k和b的另一关系式，kx1+b=x1²/4，两式联立，易得k=x1/2,b=-x1²/4,所以切线方程为y=（x1/2）*x-x1²/4
同理，过点B的直线方程为y=（x2/2）*x-x2²/4
易得两切线交点M为（（x1+x2）/2，x1x2/4）,
下面求x1x2/4
易知过点A和点B的直线方程为y=[（x1+x2）/4]*x-x1x2/4,此直线过点P，因此得到x1x2/4=-8
所以交点M的纵坐标是确定的为-8
第二小题我不详细写了，就提供以下思路：
假设存在：
则当AB与X轴平行时，易得三角形AQP全等于三角形BQP，所以AQ=BQ，所以Q此时一定在AB的中线上，即Y轴上。
当AB与X轴不平行时，由于角AQP等于角BQP，因此直线AQ与直线BQ的斜率是相反数，因此设AQ斜率为k，则BQ斜率为-k。求出AQ和BQ的表达式，很显然这两条直线的交点不在Y轴上，与刚刚的结论矛盾。
所以不存在这样的Q。