Question

求定积分∫cosαθ(cosθ)^αdθ=?·····θ=0到π，α＞-1

提示1:基本上原函数积不出来，不要太往那方面想了; 提示2:这是数学物理方法中复变函数考试卷子的最后一道题······ 提示3:讲深点没事·····偶听得懂·····

Answer 1

说一说思路，具体的你自己动手做吧。
先证明一个引理:f(z)在D:
θ1<=arg(z--a)<=θ2，0<|z--a|<r上连续，且
当z在D上趋于a时有
lim
(z--a)f(z)=A，则
r趋于0时，有lim
∫
f(z)dz=iA(θ2--θ1)，其中i是虚数单位，积分在圆弧
L:|z|=r，θ1<=arg(z--a)<=θ2上进行。
本题，考虑f(z)=z^α【(z+1/z)/2】^α
/z=(z^2+1)^α/(2^αz)，
当α>=0时，取积分路径L由四条路径组成L1:
|z|=1，0<=argz<=pi/2，
L2:
z=iy，y从1到e;L3:|z|=e，argz<从pi/2到0，
L4:z=x，x从e到1;在L所围趋于上f(z)解析，
于是有∫_L1+∫_L2+∫_L3+∫_L4=0，
∫_L1=∫_0^(pi/2)
(cosαθ+isinαθ)(cosθ)^α*i*dθ，，其虚部的积分是所求积分。
在L2和L4的积分相加，令e趋于0是瑕积分，极限存在，是实数。
在L3的积分用引理可知当e趋于0时，极限是--i*pi/2^(α+1)，
比较实部和虚部可知所求积分是pi/2^(α+1)。
当α<0时，i是f(z)的奇点，类似上面做法，以
i为心做小圆弧，取极限可知极限是0，因此对积分无影响。
最后得∫cosαθ(cosθ)^αdθ==pi/2^(α+1)，α＞-1时。