Question

.设A为3阶方阵，且矩阵A-E,A+E,A+3E 均不可逆，则 |A|=?

请给出详细步骤

Answer 1

a,a-2e,3a+2e均不可逆，就说明这三个矩阵的行列式的值都等于0
即|a|=|a-2e|=|3a+2e|=0，
而a是三阶矩阵，
那么由定义很容易知道
a的3个特征值为0，2，-2/3
所以
a+e的3个特征值为1，3，1/3
于是三阶矩阵a+e的行列式值等于其三个特征值的乘积，
即
|a+e|=1×3×
1/3=1

Answer 2

因为
A-E,A+E,A+3E
均不可逆
所以
|A-E|=0,
|A+E|=0,
|A+3E|=0
所以
A
有
特征值
1,-1,-3
而A是3阶方阵,
故
1,-1,3
是A的全部特征值
所以
|A|
=
1*(-1)*(-3)
=
3.
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