Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0.(I)若a>b>c，证明...

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0. (I)若a＞b＞c，证明f(x)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离d满足:32＜d＜3; (Ⅱ)设f(x)在x=t+12(t＞0，t≠1)处取得最小值，且对任意实数x，等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+1(其中n∈N，g(x)=x2+x+1)都成立，若数列{cn}的前n项和为bn，求{cn}的通项公式.

Answer 1

解答:解:(I)∵f(1)=0，∴a+b+c=0.
∴结合a＞b＞c，可得a＞0，c＞0.
因此ac＜0，得b2-4ac＞0…(1分)
即f(x)的图象与x轴有两个交点.
∵f(1)=0，得x=1是f(x)=0的一个根.
∴由根与系数的关系可知f(x)=0的另一个根是
c
a
，可得d=|1-
c
a
|.
∵
c
a
＜0，d=1-
c
a
，且a＞b＞c，b=-a-c，
∴a＞b=-a-c＞c.
由此可得
c
a
＜-1-
c
a
＜1，即-2＜
c
a
＜-
1
2
，
3
2
＜1-
c
a
＜3.
∴两个交点间的距离d满足:
3
2
＜d＜3.…(3分)
(II)∵f(x)在x=
t+1
2
处取得最小值，∴x=
t+1
2
是f(x)的对称轴方程.
由f(x)图象的对称性及f(1)=0可知f(t)=0. …(5分)
令x=1，得an+bn=1…①;
再令x=t，得tan+bn=tn+1…②
由①、②联解，可得bn=
t-tn+1
t-1
.…(7分)
∴n＞1时，cn=
t-tn+1
t-1
-
t-tn
t-1
=
tn(1-t)
t-1
=-tn.
又∵n=1时，c1=b1=
t-t2
t-1
=-t，也符合
∴{cn}是首项为c1=-t，公比为q=t的等比数列，且{cn}的通项公式cn=-tn. …(8分)