Question

三角不等式证明过程

Answer 1

三角不等式
三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子（这里不作介绍）。三角不等式虽然简单，但却是平面几何不等式里最为基础的结论。

中文名
三角不等式
外文名
the Triangle Inequality
适用领域
数学、物理
应用学科
理工
学科领域
数学，平面几何
快速
导航
推论

应用
内容及其证明
内容
在任何三角形中，任意两边之和大于第三边。[1]
证明
方法一（线段公理）：
记△ABC，BC是一条线段，而AB+AC不是一条线段，所以AB+AC>BC，所以三角形两边之和必然大于第三边（两点之间线段最短）。（注意：这里引用的线段公理并不是《几何原本》中的公设）[2]
方法二（《几何原本》第Ⅰ 卷命题20）：

设ABC为一个三角形，记△ABC，延长BA至点D，使DA = CA，连接DC.
则因DA = AC ，∠ADC = ∠ACD （等边对等角，《几何原本》命题5）
所以∠BCD大于∠ADC（整体大于部分公理）
由于DCB是三角形，∠BCD大于∠BDC，而且较大角所对的边较大（大角对大边，命题19）
所以DB > BC，而DA = AC
则DB = AB + AD = AB + AC > BC.[1]
推论
下面不加证明地给出若干个定理。
推论一 ：
对于两条相交线段AB、CD，必有AC+BD小于AB+CD。
推论二（绝对值不等式）:
对于，有

此式也称为三角不等式。
当且仅当：
对于，第一个等号有且，第二个等号有。
其等号成立。
对于，第一个等号有且，第二个等号有。
推论三（向量三角不等式）：
对于任意两个向量、，其加强的不等式

也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式。
推论四（复数三角不等式）：
若推论三中将两个向量换为任意两个复数，则定理仍成立。
变换后的式子称为（复数的）三角不等式。[3]
应用
广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会用这一不等式导出不等关系。
参考资料
[1] 欧几里德著,兰纪正、朱恩宽译．欧几里德·几何原本．陕西：陕西科学技术出版社，2003：17-19
[2] 何乐. 再谈“三角形两边之和大于第三边”的证明与应用[J]. 初中数学教与学, 2012(17).
[3] 沈华. 关于复数的三角不等式[