三角不等式证明过程
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三角不等式
三角不等式,即在三角形中两边之和大于第三边,有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子(这里不作介绍)。三角不等式虽然简单,但却是平面几何不等式里最为基础的结论。
中文名
三角不等式
外文名
the Triangle Inequality
适用领域
数学、物理
应用学科
理工
学科领域
数学,平面几何
快速
导航
推论
应用
内容及其证明
内容
在任何三角形中,任意两边之和大于第三边。[1]
证明
方法一(线段公理):
记△ABC,BC是一条线段,而AB+AC不是一条线段,所以AB+AC>BC,所以三角形两边之和必然大于第三边(两点之间线段最短)。(注意:这里引用的线段公理并不是《几何原本》中的公设)[2]
方法二(《几何原本》第Ⅰ 卷命题20):

设ABC为一个三角形,记△ABC,延长BA至点D,使DA = CA,连接DC.
则因DA = AC ,∠ADC = ∠ACD (等边对等角,《几何原本》命题5)
所以∠BCD大于∠ADC(整体大于部分公理)
由于DCB是三角形,∠BCD大于∠BDC,而且较大角所对的边较大(大角对大边,命题19)
所以DB > BC,而DA = AC
则DB = AB + AD = AB + AC > BC.[1]
推论
下面不加证明地给出若干个定理。
推论一 :
对于两条相交线段AB、CD,必有AC+BD小于AB+CD。
推论二(绝对值不等式):
对于,有

此式也称为三角不等式。
当且仅当:
对于,第一个等号有且,第二个等号有。
其等号成立。
对于,第一个等号有且,第二个等号有。
推论三(向量三角不等式):
对于任意两个向量、,其加强的不等式

也成立,这个不等式也可称为向量的三角不等式。
推论四(复数三角不等式):
若推论三中将两个向量换为任意两个复数,则定理仍成立。
变换后的式子称为(复数的)三角不等式。[3]
应用
广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会用这一不等式导出不等关系。
参考资料
[1] 欧几里德著,兰纪正、朱恩宽译.欧几里德·几何原本.陕西:陕西科学技术出版社,2003:17-19
[2] 何乐. 再谈“三角形两边之和大于第三边”的证明与应用[J]. 初中数学教与学, 2012(17).
[3] 沈华. 关于复数的三角不等式[
三角不等式,即在三角形中两边之和大于第三边,有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子(这里不作介绍)。三角不等式虽然简单,但却是平面几何不等式里最为基础的结论。
中文名
三角不等式
外文名
the Triangle Inequality
适用领域
数学、物理
应用学科
理工
学科领域
数学,平面几何
快速
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推论
应用
内容及其证明
内容
在任何三角形中,任意两边之和大于第三边。[1]
证明
方法一(线段公理):
记△ABC,BC是一条线段,而AB+AC不是一条线段,所以AB+AC>BC,所以三角形两边之和必然大于第三边(两点之间线段最短)。(注意:这里引用的线段公理并不是《几何原本》中的公设)[2]
方法二(《几何原本》第Ⅰ 卷命题20):

设ABC为一个三角形,记△ABC,延长BA至点D,使DA = CA,连接DC.
则因DA = AC ,∠ADC = ∠ACD (等边对等角,《几何原本》命题5)
所以∠BCD大于∠ADC(整体大于部分公理)
由于DCB是三角形,∠BCD大于∠BDC,而且较大角所对的边较大(大角对大边,命题19)
所以DB > BC,而DA = AC
则DB = AB + AD = AB + AC > BC.[1]
推论
下面不加证明地给出若干个定理。
推论一 :
对于两条相交线段AB、CD,必有AC+BD小于AB+CD。
推论二(绝对值不等式):
对于,有

此式也称为三角不等式。
当且仅当:
对于,第一个等号有且,第二个等号有。
其等号成立。
对于,第一个等号有且,第二个等号有。
推论三(向量三角不等式):
对于任意两个向量、,其加强的不等式

也成立,这个不等式也可称为向量的三角不等式。
推论四(复数三角不等式):
若推论三中将两个向量换为任意两个复数,则定理仍成立。
变换后的式子称为(复数的)三角不等式。[3]
应用
广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会用这一不等式导出不等关系。
参考资料
[1] 欧几里德著,兰纪正、朱恩宽译.欧几里德·几何原本.陕西:陕西科学技术出版社,2003:17-19
[2] 何乐. 再谈“三角形两边之和大于第三边”的证明与应用[J]. 初中数学教与学, 2012(17).
[3] 沈华. 关于复数的三角不等式[
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