Question

已知函数,.()求函数的最大值;()设,证明.

已知函数,. ()求函数的最大值; ()设,证明.

Answer 1

先求出函数的定义域,然后对函数进行求导运算,令导函数等于求出的值,再判断函数的单调性,进而可求出最大值.
先将,代入函数得到的表达式后进行整理,根据可得到,将,放缩变形为,代入即可得到左边不等式成立,再用根据的单调性进行放缩.然后整理即可证明不等式右边成立.
()解:函数的定义域为.
.令,解得.
当时,,当时,.又,
故当且仅当时,取得最大值,最大值为.
()证明:
.
由()结论知(,且),
由题设,得,,
因此,
,
所以.
又,
.
综上.
本题主要考查导数的基本性质和应用,对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力.