Question

证明 当X>0是 有不等式 1/1+x<In[(1+x)/x]<1/x

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

先看右边：
两相除，再同时去以e为底指数，之后对e^x作麦克劳琳展开（其实就是证明e^x的增长速度大于1+x）
ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+....)<1
所以ln(1+x)<x,
在看左边：
在x=0时x/(1+x)=ln(1+x)=0;
当x>0时
对x/(1+x)和ln(1+x)分别求导数，
[1/(1+x)]'=[(1+x)-x/(1+x)^2]=1/[(1+x)^2]
[ln(1+x)]'=[1/(1+x)]
两导数作比：[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+x)<1
所以，在x>0时，x/(1+x)的增长速度小于ln(1+x)，而在x=0出两者相等。
所以
x/(1+x)<ln(1+x)
证毕。