Question

设A是m*n阶矩阵,B为n*k阶矩阵,若AB=0,证明r(A)+r(B)

Answer 1

证明：
设B=(β1,β2,...,βs),则
AB=A(β1,β2,...,βs)=(Aβ1,Aβ2,...,Aβs)=0
∴Aβ(i)=0,(i=1,2,...,s)
即β1,β2,...,βs是线性方程组AX=0的解
又线性方程组AX=0的基础解系所含的向量个数是n-r(A)
∴r(B)=r(β1,β2,...,βs)≤n-r(A)
∴r(A)+r(B)