Question

已知无穷等比数列｛an｝首项为1，公比为q，前n项和为Sn，求lim（Sn/Sn+1）

Answer 1

当q=1时Sn=n,即Sn/Sn+1=n/n+1, lim(Sn/Sn+1)=1;

当q≠1时，Sn=1*(1-q^n)/(1-q)=(1-q^n)/(1-q)；

即Sn/Sn+1=(1-q^n+1)/(1-q^n)；

此时分两种情况讨论：

① 0<q<1时，lim(q^n)=0，相对于1，q^n可以忽略不计，

即lim(Sn/Sn+1)=lim「(1-q^n+1)/(1-q^n)」=(1-0)/(1-0)=1;

② q>1时，lim(q^n)趋向于无穷大，

Sn/Sn+1=(1-q^n+1)/(1-q^n)=(q^n+1 - 1)/(q^n-1);

相对于q^n,1可以忽略不计，

即limSn/Sn+1=lim「(q^n+1 - 1)/(q^n-1)」=(q^n+1)/q^n=q;

综上所述：当0〈 q ≤1时，lim(Sn/Sn+1)=1；

当q 〉1时，limSn/Sn+1=q 。

Answer 2

（1）当q＝1时，Sn＝n;S(n+1)＝(n+1)
lim（Sn/Sn+1）＝n/(n+1)＝1

（2）当q＝-1时，n为偶数Sn＝0;S(n+1)=1,极限＝0
n为奇数,Sn＝1;S(n+1)=0,极限不存在；

（3）当q≠±1时：
Sn=a1·(1-q^n)/(1-q)
S(n+1)＝a1·[1-q^(n+1)]/(1-q)
Sn/S(n+1)＝(1-q^n)/[1-q^(n+1)]
∴lim（Sn/Sn+1）＝(1-q^n)/[1-q^(n+1)]
若|q|>1：
lim（Sn/Sn+1）＝lim(1/q^n -1)/[1/q^n-q]＝(-1)/(-q)＝1/q
若|q|<1：
lim（Sn/Sn+1）＝1