Question

∫e^ t(sint)^2dt怎样解答？

Answer 1

首先，将 t^2 和 sint 分别设为 u 和 v，则 u'=2t，v'=cost，那么原式可以写成：
∫e^ t(sint)^2dt = ∫uv'e^udu
由于 u'v=v'u，所以可以得到：
∫uv'e^udu = uve^u-∫u've^udu
代入原式得到：
∫e^ t(sint)^2dt = t^2sinte^t-∫2te^ t(sint)^2dt
即：
∫e^ t(sint)^2dt-∫2te^ t(sint)^2dt= t^2sinte^t
∫(1-2t)e^ t(sint)^2dt= t^2sinte^t
∫(1-2t)e^ t(sint)^2dt= t^2sinte^t
∫[e^ t(sint)^2-2te^ t(sint)^2]dt= t^2sinte^t
∫e^ t(sint)^2dt-2∫te^ t(sint)^2dt= t^2sinte^t
因此，我们可以得到解析解：
∫e^ t(sint)^2dt= t^2sinte^t+C
其中 C 为常数。
希望这对您有帮助！

Answer 2

两次用分部积分法,再解出.
∫e^t(sint)^2dt=e^t(sint)^2-∫e^tsin2tdt
∵∫e^tsin2tdt=e^tsin2t-2∫e^tcos2tdt
=e^tsin2t-2e^tcos2t-4∫e^tsin2tdt
∴5∫e^tsin2tdt=e^tsin2t-2e^tcos2t
∫e^tsin2tdt=1/5e^tsin2t-2/5e^tcos2t
∴ ∫e^t(sint)^2dt=e^t(sint)^2-1/5e^tsin2t+2/5e^tcos2t+C