Question

高中数学数列求详解

数列an满足n ∈ N*，an > 0 且a1^3 + a2^3 + a3^3 + ... + an^3 = (a1 + a2 + a3 + ... + an)^2
设数列1 / [ an * a(n+2) ] 的前n项和为Sn，不等式Sn >1/3 * log (a) (1-a) 对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围。

Answer 1

记Tn表示{an}的前n项和
a1^3 + a2^3 + a3^3 + ... + an^3 = (a1 + a2 + a3 + ... + an)^2 ……(1)
a1^3 + a2^3 + a3^3 + ... + a^3(n-1) = (a1 + a2 + a3 + ... + a(n-1))^2……(2)
(1)-(2)得
an^3=(……)^2-(……)^2=(用平方差公式)=(2Tn-an)an (n>1)
因为an>0
所以an^2=2Tn-an (n>1)
即an^2+an=Tn (n>1) ……(3)
所以 a^2(n-1)+a(n-1)=T(n-1) (n>2)……(4)
(3)-(4)得：
an^2-a^2(n-1)=an+a(n-1)
因为an+a(n-1)>0
所以消去公因式，得：an-a(n-1)=1, n>2
然后验证a1,a2也满足a2-a1=1
所以{an}是一个以1为首项，1为公差的等差数列
所以 an=n
=======================以上均为废话，但是想看推导过程的话可以================
因为an*a(n+2)各项均为正
所以Sn>=S1=1/(a1*a3)=1/3
所以令1/3>1/3*log(a)(1-a)
由此知: 0<a<1
所以 令ln(1-a)/lna<1
即ln(1-a)>lna
1-a>a，0<a<1
0<a<0.5

Answer 2

a1^3 + a2^3 + a3^3 + ... + an^3 = (a1 + a2 + a3 + ... + an)^2=Sn^2
a1^3 + a2^3 + a3^3 + ... + a(n-1)^3 = (a1 + a2 + a3 + ... + a(n-1))^2=S(n-1)^2
相减得an^3=(Sn+S(n-1))*an
所以an^2=S(n)+S(n-1)
而S(n-1)=S(n)-an
代入得an^2=2S(n)-an
S(n)=(an^2+an)/2
所以S(n-1)=(a(n-1)^2+a(n-1))/2
相减得an=(an^2+an)/2-(a(n-1)^2+a(n-1))/2
化简得(an+a(n-1))(an-a(n-1))=an+a(n-1)
所以an-a(n-1)=1 (*****)（是等差数列）
在原等式中设n=1代入得a(1)=1
所以an=n
剩下得求Sn得和采用列项得方式就很简单了。