Question

为什么伴随矩阵是代数余子式？

Answer 1

伴随矩阵是它的每个元素的代数余子式组成的，而kA的代数余子式是A的代数余子式的每个元素乘以k，A的代数余子式是n-1阶的，把n-1行的k提出来，就是k的n-1次方了。

由数乘的定义，kA=(kaij)，即A的每个元素都乘k，所以，kA的第i行第j列元素的代数余子式(记为) Bij 等于A的第i行第j列元素的代数余子式k^(n-1)Aij，所以 (kA)* = (Bji) = (k^(n-1)Aji) = k^(n-1)(Aji) = k^(n-1)A*。

相关定理

定理1、设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)。证对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1，k+1det(M1，k+1)。

定理2、设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。