如图，求微分方程的通解.
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解：令q=y'/x，则y'=xq，y''=q+xq'
代入原方程，得：3x*(xq)^2*(q+xq')=3(xq)^3+x^4
3x^3*q^2*(q+xq')=3x^3*q^3+x^4
3q^2*(q+xq')=3q^3+x
3q^3+3q^2*xq'=3q^3+x
3q^2*xq'=x
3q^2*q'=1
(q^3)'=x'
q^3=x+C，其中C是任意常数
q=(x+C)^(1/3)
y'/x=(x+C)^(1/3)
y'=x*(x+C)^(1/3)
y=∫x*(x+C)^(1/3)dx
令t=(x+C)^(1/3)，则x=t^3-C，dx=3t^2dt
y=∫(t^3-C)*t*3t^2dt
=3*∫(t^6-Ct^3)dt
=(3/7)*t^7-(3C/4)*t^4+B，其中B是任意常数
=(3/7)*(x+C)^(7/3)-(3C/4)*(x+C)^(4/3)+B
其中B,C均为任意常数
代入原方程，得：3x*(xq)^2*(q+xq')=3(xq)^3+x^4
3x^3*q^2*(q+xq')=3x^3*q^3+x^4
3q^2*(q+xq')=3q^3+x
3q^3+3q^2*xq'=3q^3+x
3q^2*xq'=x
3q^2*q'=1
(q^3)'=x'
q^3=x+C，其中C是任意常数
q=(x+C)^(1/3)
y'/x=(x+C)^(1/3)
y'=x*(x+C)^(1/3)
y=∫x*(x+C)^(1/3)dx
令t=(x+C)^(1/3)，则x=t^3-C，dx=3t^2dt
y=∫(t^3-C)*t*3t^2dt
=3*∫(t^6-Ct^3)dt
=(3/7)*t^7-(3C/4)*t^4+B，其中B是任意常数
=(3/7)*(x+C)^(7/3)-(3C/4)*(x+C)^(4/3)+B
其中B,C均为任意常数
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