Question

一道高一函数题，超简单

已知函数f(x)=ax^2-(a+3)x+4
（1）如果y=f(x)的两个零点为α、β，且满足0＜α＜2＜β＜4，求实数α的取值范围；
（2）如果函数y=log a+1 ×f(x)求实数a的取值范围；并指出最值是最大值还是最小值
求过程！

Answer 1

1、
a<0,和x轴交点i一个在(0,2),一个在(2,4)
画图可知
f(0)<0,f(2)>0,f(4)<0
f(0)=4<0,不成立

a>0,
开口向上
f(0)>0,f(2)<0,f(4)>0
f(0)=4>0
f(2)=4a-2a-6+4<0,a<1
f(4)=16a-4a-12+4>0,a>2/3
2/3<a<1

2、
底数a+1>0
a>-1,且a+1≠1
所以a>-1,且a≠0

-1<a<0,0<a+1<1,log是减函数
而f(x)开口向下，有最大值
所以y有最小值

a>0,a+1>1,log是增函数
而f(x)开口向上，有最小值
所以y有最小值

综上，y有最小值

Answer 2

1)若y=f(x)的两个零点为α，β，则有
α+β=(a+3)/a,
而,0＜α＜2＜β＜4，则有,2<α+β<6.
即,2<(a+3)/a<6,
解不等式得,取交集,
3/5<a<3.

2)讨论:
A)0<a+1<1时,即-1<a<0,则有
[-(a+3)]^2-4a*4>0,
a>9或a<1.
取不等式交集得,-1<a<0.
B)a+1>1时,即a>0.则有
f(x)=ax^2－(a+3)x+4>0恒成立.
即,[-(a+3)]^2-4a*4<0,
1<a<9.
取不等式的交集得,1<a<9.
故,实数a的范围是:-1<a<0或1<a<9.