Question

求z=arctanx+y/x-y的二阶偏导数

Answer 1

首先求一阶偏导数：
∂z/∂x = 1/(1+x²/y²)
∂z/∂y = (x/y²) / (1+x²/y²)
对∂z/∂x求偏导得到二阶偏导数：
∂²z/∂x² = -2xy²/(x²+y⁴)³
对∂z/∂y求偏导得到二阶偏导数：
∂²z/∂y² = 2x²y/(x²+y⁴)³
对∂z/∂x和∂z/∂y同时求偏导得到混合偏导数：
∂²z/∂y∂x = (3x²y³-y⁵)/(x²+y⁴)⁴
因此，z=arctan(x+y/x-y)的二阶偏导数为：
∂²z/∂x² = -2xy²/(x²+y⁴)³
∂²z/∂y² = 2x²y/(x²+y⁴)³
∂²z/∂y∂x = (3x²y³-y⁵)/(x²+y⁴)⁴