Question

z =arctan y/x + Inxy的二阶偏导数？

z =arctan y/x + Inxy求求求求

Answer 1

要计算 z = arctan(y/x) + ln(xy) 的二阶偏导数，我们需要分别计算关于 x 的二阶偏导数和关于 y 的二阶偏导数。
首先，计算关于 x 的二阶偏导数：
对 z = arctan(y/x) + ln(xy) 关于 x 进行一阶偏导数，得到：
∂z/∂x = (∂/∂x)(arctan(y/x)) + (∂/∂x)(ln(xy))
计算 (∂/∂x)(arctan(y/x))：
根据链式法则，我们有：
∂z/∂x = (∂/∂x)(arctan(y/x)) + (∂/∂x)(ln(xy))
= (1/(1+(y/x)^2)) * (∂/∂x)(y/x)
= (1/(1+(y/x)^2)) * ((-y/x^2) * x + y/x)
= (1/(1+(y/x)^2)) * (-y/x + y/x)
= 0
计算 (∂/∂x)(ln(xy))：
应用对数函数的导数规则，我们有：
∂z/∂x = (∂/∂x)(arctan(y/x)) + (∂/∂x)(ln(xy))
= 0 + (∂/∂x)(ln(x) + ln(y))
= (∂/∂x)(ln(x)) + (∂/∂x)(ln(y))
= (1/x) + 0
= 1/x
现在，我们计算关于 y 的二阶偏导数：
对 z = arctan(y/x) + ln(xy) 关于 y 进行一阶偏导数，得到：
∂z/∂y = (∂/∂y)(arctan(y/x)) + (∂/∂y)(ln(xy))
计算 (∂/∂y)(arctan(y/x))：
根据链式法则，我们有：
∂z/∂y = (∂/∂y)(arctan(y/x)) + (∂/∂y)(ln(xy))
= (1/(1+(y/x)^2)) * (∂/∂y)(y/x)
= (1/(1+(y/x)^2)) * (1/x)
计算 (∂/∂y)(ln(xy))：
应用对数函数的导数规则，我们有：
∂z/∂y = (∂/∂y)(arctan(y/x)) + (∂/∂y)(ln(xy))
= (1/(1+(y/x)^2)) * 0 + (∂/∂y)(ln(x) + ln(y))
= 0 + (1/y)
现在，我们计算二阶偏导数：
对 (∂z/∂x) 进行关于 x 的偏导数：
∂(∂z/∂x)/∂x = ∂(1/x)/∂x = -1/x^2
对 (∂z/∂y) 进行关于 y 的偏导数：
∂(∂z/∂y)/∂y = ∂((1/(
1+(y/x)^2)) * (1/x))/∂y = ∂(1/(y*(1+(y/x)^2)))/∂y = -1/(y^2*(1+(y/x)^2)^2)
因此，z = arctan(y/x) + ln(xy) 的二阶偏导数为：
∂^2z/(∂x^2) = -1/x^2
∂^2z/(∂y^2) = -1/(y^2*(1+(y/x)^2)^2)

Answer 2

方法如下，请作参考：

若有帮助，
请采纳。

追答

方法如下，请作参考：

若有帮助，请采纳。

Answer 3

函数 \(y = \arctan \frac{y}{x} + \ln(xy)\) 的二阶偏导数为：
$$
\frac{1}{x^2 + y^2} - \frac{1}{x^2}
$$