Question

24.已知数列{a}满足an=1,a.+=+3a.+2"+++n,求{an}的通项公式.

Answer 1

要求数列 {an} 的通项公式，可以按照以下步骤进行：

• 观察数列的递推关系。根据已知条件，数列的递推关系为 an = 1 + 3an-1 + 2^n。

• 推导数列的通项公式。我们可以通过递推关系来推导数列的通项公式。首先，我们可以将递推关系展开，得到：

  an = 1 + 3an-1 + 2^n
  = 1 + 3(1 + 3an-2 + 2^(n-1)) + 2^n
  = 1 + 3 + 9an-2 + 3 * 2^(n-1) + 2^n
  = 4 + 9an-2 + 2^(n-1)(3 + 2)

• 继续展开递推关系，我们可以得到：

  an = 4 + 9an-2 + 5 * 2^(n-1)

• 进一步观察递推关系，我们可以发现，当 n 为偶数时，an-2 的系数为 9，而当 n 为奇数时，an-2 的系数为 0。因此，我们可以将递推关系分成两个部分：

  当 n 为偶数时：an = 4 + 9an-2 + 5 * 2^(n-1)
  当 n 为奇数时：an = 4 + 5 * 2^(n-1)

• 最后，我们可以将递推关系的初始条件代入，即 a1 = 1。根据初始条件，我们可以得到：

  a1 = 4 + 5 * 2^(1-1) = 4 + 5 = 9

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因此，数列 {an} 的通项公式可以写为：

an = 2^n + 3an-1 + 1

Answer 2

变形构造等比数列