Question

已知点G是三角形ABC重心,若角A=120度,向量ABX向量AC=-2,则|向量AG|的最小值为?

Answer 1

答案：|向量AG|的最小值=2/3
解：在△ABC中，延长AG交BC于点D,
因为，点G是三角形ABC重心
所以，AD是BC边上的中线，且 AG=2AD/3
因为，向量ABX向量AC=|向量AB|X|向量AC|Xcos120°=-2
所以，|向量AB|X|向量AC|=4
因为，向量AG=(2倍向量AD)/3, 2倍向量AD= 向量AB+向量AC
所以，向量AG=(向量AB+向量AC)/3
所以，(向量AG)²=[(向量AB+向量AC)/3]²
=(1/9)*[|向量AB|²+2X向量ABX向量AC+|向量AC|²] （利用不等式：a²+b²》2ab）
》(1/9)[2X|向量AB|X|向量AC|+2X(-2)]=4/9，
即：(向量AG)²》4/9
所以，|向量AG|》2/3 即：|向量AG|的最小值=2/3

Answer 2

后一种方法的逻辑没太懂……问题应该是出在AB+AC的理解上。你那里用均值不等式算的应该是|AB|+|AC|,
而向量AG=(向量AB+向量AC)/3,
不是模相加，问题可能出在这里。
“AB+AC的最小值=中线的两倍”这句话怎么得出来的？应该是四倍才对。