Question

一道不太难的竞赛题...解析几何...

椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
右顶点为M(a,0)若过M有两条直线MA,MB分别交椭圆于A，B两点，角AMB=a
那么，AB是否过定点，如果过定点，求出该点坐标，如果不过定点，那么当a为何值时过定点

1楼...问题是这么回事...但是你不觉得麻烦了么...这道题要用极坐标...

Answer 1

首先 根据对称性 这个定点一定位于x轴上
其次 这个角一定不是锐角 （如果是锐角那整条直线就可以在x轴上方，就不会过那个定点了）
然后 可以想象一下当离心率非常小时 几乎是一个圆 这是a=90度 定点接近于原点 即椭圆此时的焦点
由此可以猜想 定点是椭圆的右焦点（左焦点的话a就是锐角了）
然后你就可以设点证明了
我试了一下 应该可以做
设两个交点(x1,y1).(x2,y2)
先表示出两个MA，MB和x轴间的夹角的tana1,tana2 再表示出tan(a1+a2)
联立方程 （过右焦点的直线方程和椭圆方程）用韦达定理
化简 （中间有一个含（x1y2-x2y1）的式子,用两个交点过右焦点斜率相等的式子可以表示成关于y1,y2的式子）
最后如果tan(a1+a2)是一个定值 就证出来了
（具体的我没算完，你试试吧，也有可能是错的）

Answer 2

设出A,B点的坐标，表示出直线MA,MB的斜率，表示出角AMB，得到A,B点坐标的关系式1，设出直线AB的方程，代入关系式1，令其过定点求出角AMB满足的关系式，

这道题关键是计算，代数的计算，有一定技巧就行了，电脑打字写计算式不方便，，，