Question

如何证明韦达定理?

Answer 1

一元二次方程ax^2+bx+c
(a不为0)中
设两个根为x和y
则x+y=-b/a
xy=c/a
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程∑aix^i=0
它的根记作x1,x2…,xn
我们有
∑xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)
∑xixj=(-1)^2*a(n-2)/a(n)
…
∏xi=(-1)^n*a(0)/a(n)
其中∑是求和，∏是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元
n
次方程
在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
定理的证明
设
x_1
，
x_2
是一元二次方程
ax^2+bx+c=0
的两个解，且不妨令
x_1
\ge
x_2
。根据求根公式，有
x_1=\frac{-b
+
\sqrt
{b^2-4ac}}
，
x_2=\frac{-b
-
\sqrt
{b^2-4ac}}
所以
x_1+x_2=\frac{-b
+
\sqrt
{b^2-4ac}
+
\left
(-b
\right)
-
\sqrt
{b^2-4ac}}
=-\frac
，
x_1x_2=\frac{
\left
(-b
+
\sqrt
{b^2-4ac}
\right)
\left
(-b
-
\sqrt
{b^2-4ac}
\right)}{\left
(2a
\right)^2}
=\frac