Question

高中数学 抛物线

已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切，
1 求动圆圆心C的轨迹G的方程
2 过点T(-1,0)作直线l与轨迹G交于A,B两点，若在X轴上存在一点(Xo，0）,使得△ABC是等边三角形，求Xo的值

Answer 1

（1）设圆心坐标为（x0，y0）则它到直线x=-1与点（1,0）距离相等
可列出方程
（x0+1）^2=(x0-1)^2+y0^2
=>4x0=y0^2
则轨迹方程为4x=y^2
(2)
设过点（-1,0）方程为y=k（x+1）
它与抛物线4x=y^2联立
可得 k^2*x^2+(2k^2-4)x+k^2=0
韦达定理有
X1+x2=4/k^2-2
X1*x2=1
则两交点的中点（x0，y0）坐标为
（（x1+x2）/2,(y1+y2)/2）为（2/k^2-1,2/k）
过该点做直线的垂线
垂线方程为
y-k/2=-1/k(x-2/k^2+1)
与x轴交点为（2/k^2+1,0）,则该点为所求的点
还有一个满足正三角形的条件我们还没用
正三角形性质我们可知高是底边长的根3比2倍
先算正三角形边长
由韦达定理我们可算出|x1-x2|，则边长为k^2+1开根号乘以|x1-x2|
解出为√(k^2+1) √(16/k^4 -16/k^2)
高为刚所求出x轴交点到直线的距离
为(2/k+2k)/√(k^2+1)
代入上面所说的比值，解方程可得k=正负2
最后验证
这是思路啊 计算结果不一定对（图竟然不能发-v-）
（ps：ls的 如果用三角形等边条件的话，要算出两个交点的值，太麻烦啊，计算量太大，这种题一般还是考虑用对称性来做比如像这道题从两交点中点考虑，计算简单一点，虽然上了大学以后一般死算，高中还是要一点技巧的-v-）

Answer 2

1)根据题意，动员圆心到直线x=-1和固定点（1,0）的距离相等，这实际上就是抛物线的定义，于是可以获得动员圆心轨迹的方程：
y^2=4*x
2)第二小题是不是C为（xo,0，题目没写清楚，暂时认为C为（x0，0），求C的坐标。
假设直线l方程y=k(x+1);交点A、B的坐标，利用根与系数关系得出x1、x2、y1、 y2间的关系式，
方法一：
最简单的方法：利用等边三角形，列两个等式，AB=AC=BC），注式中含有两个未知数，x0和k，可以求解。
上班了。。。。你自己尝试一下，应该还可以与平面向量结合试一下

Answer 3

推荐：本题主要考察曲线定义，直线与曲线关系，下面用到了点差法。
1)设圆心为c（x,y),圆心c到定点(1,0)与到定直线的距离相等，由抛物线的定义可知圆心轨迹为抛物线，其焦点为(1,0),在x轴上。p/4=1曲线方程为y^2=4x.
2)设A,B坐标为(x1,y1)(x2,y2)中点为M(m,n).m>0.
A,B在曲线上得
y1^2=4x1,y2^2=4x2,两式相减得KAB=[y1-y2]/[x1-x2]=4/[y1+y2]=4/[2n]=2/n=k
因为AB过点T(-1,0)，可设AB直线方程为y=k(x+1),联立y^2=4x消去y得：
(k^2)x^2+(2k^2-4)x+k^2=0于是x1+x2=(4-2k^2)/k^2=2m,得k^2=2/(m+1)....(1);x1x2=1
线段AB=[(1+k^2)^(1/2)][(x1+x2)-4x1x2]^(1/2)=[4(1-k^4)^(1/2)]/k^2
线段CM=[(xo-m)^2+n^2]^(1/2)
由于CM垂直AB可得，Kcm=-1/Kab,即n/(m-xo)=-n/2,得xo=m+2.....(2)
M在AB上的，n=(2/n)(m+1)得n^2=2(m+1).....(3)
因为tanBAC=CM/AM,得：{(k^2)[(xo-m)^2+n^2]^(1/2)}/2(1-k^4)=3^（1/2）.....(4)
(1)(2)(3）代入(4)可得
3m^2+2m-21=0得m=7/3,m>0.
于是xo=2+m=13/3.

Answer 4

【1】设动圆圆心C(x,y),则√[(x-1)²+y²]=|x+1|.整理就是轨迹方程:y²=4x.【2】用“参数法”。可设点A(a²,2a),B(b²,2b).(a≠b).由三点A,B,T共线，可得ab=1.由C(c,0)满足|CA|=|CB|.可得:2c=4+a²+b²=2+(a+b)²,∴|AB|=2√[(c+1)(c-3)],又直线L:2x-(a+b)y+2=0.∴点C到直线L的距离d=√(2c+2).∵√3|AB|=2d.∴c=11/3..即x0=11/3.