Question

已知fx是定义域为[-6,6]的奇函数,且fx在[0,3]上是x的一次函数

已知fx是定义域为[-6,6]的奇函数,且fx在[0,3]上是x的一次函数，在[3，6]上是x的二次函数，当x属于[3，6]时，fx≤f(5)=3,f(6)=2,试求f(x)的表达式。

Answer 1

设f(x)在[0,3]上表达式为f(x)=ax+b,奇函数有f(0)=0；a先不求。
设f(x)在[3,6]上表达式为f(x)=cx^2+dx+e,因为f(5)=3,f(5)'=0【f(5)是最大值，此点导数为0】，f(6)=2，联立方程组解得c=-1，d=10，e=-22。所以设f(x)在[3,6]上表达式为f(x)=-x^2+x-22.
由此式计算f(3)=-3^2+30-22=-1
因为在x=3点也符合[0,3]上的表达式f(x)=ax，所以f(3)=a3=-1，a=-1//3。
所以f(x)在[0,3]上表达式为f(x)=-x/3。

再根据f(x)是奇函数，可以写出：
f(x)在[-3，3]上表达式为f(x)=-x/3；
f(x)在[3,6]上表达式为f(x)=-x^2+x-22；
f(x)在[-6,3]上表达式为f(x)=-[-x^2+x-22]=x^2-x+22 这是根据f(-x)=-f(x)写出的。