Question

初三数学题目

探究,半径为r的圆内切与RT△ABC,∠C=90,写出r和abc（斜边）的关系

Answer 1

1.r=ab/(a+b+c)

设RT△ABC内切圆的圆心为由于圆为O，RT△ABC内切圆，所以内切圆圆心O为RT△ABC的内心。
分别连接RT△ABC的三个顶点A、B、C分别与圆心O相连，则AO、BO、CO分别把RT△ABC分成三个等高三角形，那么这三个等高三角形的高均为圆O的半径r，底边分别为a、b、c。
则RT△ABC的面积=△BCO的面积+△ACO的面积+△ABO的面积=1/2ar+1/2br+1/2cr=1/2(a+b+c)r，由于RT△ABC的面积=1/2ab(在RT△ABC中c为斜边，a、b为直角边，a、b互对为RT△ABC的底和高)，
所以1/2(a+b+c)r=1/2ab，即(a+b+c)r=ab，即r=ab/(a+b+c)

2.另外，r=1/2(a+b-c)

证明：设RT△ABC内切圆O与边AC、BC、AB的切点分别为D、E、F
由于AD=AF，BE=BF，OD=OE=OF=r
所以AC+BC-AB=(AD+DC)+(BE+EC)-(AF+BF)=AF+r+BF+r-AF+BF=2r
所以AC+BC-AB=2r，即a+b-c=2r，即r=1/2(a+b-c)

Answer 2

r=(a+b+c)/2
r=ab/(a+b+c)
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