Question

圆的半径是3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方，x轴被圆截的弦长2倍根号5

我已经算出圆的方程为（x-1)^2+(y+2)^2=9，问是否存在斜率为1的直线L，使得圆C截L的弦AB为直径的圆过原点？

Answer 1

设圆心坐标为C(x0,y0)
x轴被圆截的弦长2倍根号5时的坐标为C(x1,0),D(x2,0)
此时圆的方程为 (x-x0)^2+(y-y0)^2=9
当它截X轴时，y=0,x<>0
∴ (x-x0)^2+(0-y0)^2=9 ①
又 2x0+y0=0 ②
由②得 y0=-2x0 代入 ①
得 (x-x0)^2+(-2x-)^2=9
化简，得 x^2-2xx0+5x0^2-9=0
∴ x1+x2=2x0 x1*x2=5x0^2-9
又 弦CD=2√5
即(x1-x2)^2=(2√5)^2
可化成 (x1+x2)^2-4x1x2=20
则 (2x0)^2-4(5x0^2-9)=20
化简，得 x0^2=1
∴ x0=1 或 x0=-1
此时 y0=-2 或 y0=2
∵圆心在x轴的下方
∴ y0<0
得 圆心C为(1,-2)
所以圆心为C，半径是3的圆的方程为（x-1)^2+(y+2)^2=9 ③

设直线L方程为 y=x+b ④
如果能够求出b的值，那么存在斜率为1的直线L，使得圆C截L的弦AB为直径的圆过原点.
设 A,B坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)
将④代入③得
（x-1)^2+[x+(b+2)]^2=9
x^2-2x+1+x^2+2x(b+2)+(b+2)^2=9
x^2-2x+1+x^2+2xb+4x+b^2+4b+4-9=0
即 2x^2+2x+2xb+b^2+4b-4=0
2x^2+2x(1+b)+b^2+4b-4=0
从而 x1+x2=-b-1 x1*x2=(b^2+4b-4)/2
∴y1*y2=(x1+b)*(x2+b)
=x1*x2+b(x1+x2)+b^2
=(b^2+4b-4)/2+b*(-b-1)+b^2
=(b^2+2b-4)/2
∵AB为直径的圆过原点O
∴ AO斜率*BO斜率=-1
即 y1/x1*y2/x2=-1
y1*y2+x1*x2=0
(b^2+2b-4)/2 +(b^2+4b-4)/2=0
化简，得b^2+6b-8=0
此方程有解，分别为b=2 或 b=4
∴ 存在斜率为1的直线L，使得圆C截L的弦AB为直径的圆过原点.
直线L方程为 y=x+2 或y=x+4.