Question

a1=1,an+1=1/2an^2-an+2

a1=1,an+1=1/2an^2-an+2 求证1<an<2！！！！！

Answer 1

a后面括号里的是下标。
（1）、由方程a(n+1)=1/2a(n)²-a(n)+2可得
a(n+1)=1/2a(n)-a(n)+1/2+3/2=1/2(a(n)-1)^2+3/2。（n=1,2,3……）
因为，a1=1，所以，当n大于1时a(n)>=3/2>1恒成立。

又因为a(n+1)=1/2a(n)²-a(n)+2
所以a(n+1)-2=1/2a(n)²-a(n)=1/2*a(n)(a(n)-2)
以下用数学归纳法证明
1、因为当n=1时，a1=1；a1-2=-1<0
故 a2-2=-1/2<0
2、若当n=k时，有a(k)-2<0，因为上面已经得出a(k)>1
所以，a(k+1)-2=1/2*a(k)(a(k)-2)<0
综上可得，对任意n>=1,均有a(n)-2<0
故有a(n)<2，对任意n>=1均成立。
所以，当n为大于1的正整数时，1<an<2