Question

设斜率为1的直线l与椭圆C:x^2/4+y^2/2=1相交于不同的两点A,B,则使AB为整数的直线l

设斜率为1的直线l与椭圆C:x^2/4+y^2/2=1相交于不同的两点A,B,则使AB为整数的直线l共有几条？

Answer 1

很多符号打不出来，你只能耐心地看。
设A =（x1，y1）B（x2，y2），由题意，我们可以可以得到两条方程，x^2/4+y^2/2=1以及y=x+b，将y=x+b代入椭圆方程，联立化简得到一个二元一次方程：3x^2+4bx+2b^2-4=0.
根据韦达定理可知，x1+x2= -（4b）/3，x1x2=（2b^2-4）/3，
AB=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+b）*（x2+b）=2x1x2+b（x1+x2）+b^2
将已知的x1和x2的和以及x1与x2的积代入AB的式子中去可以得到
AB=（3b^2-8）/3，令AB=k（k为整数），即可得到b^2=k+8/3
由上面可知，直线与椭圆方程有两个交点，则意味着二元一次方程：3x^2+4bx+2b^2-4=0有两个解，则判别式应该>0,由判别式>0可以解出0<b^2<6 ，也就是0<k+8/3<6，而k为整数，则k一定为k=0，1，2，3
k求出来，代入b^2=k+8/3，就可以把b求出来了，b有八个值，故有八条满足题意的直线。

Answer 2

设直线方程为y=x+b，代入椭圆方程得，3x^2+4bx+2b^2-4=0 ①
设A、B的坐标分别为（X1，Y1)，(X2，Y2)，|AB|=n
由题意知，(4b)^2-4×3×(2b^2-4)>0，解得，b^2<6 ∴0≤b^2<6 ②
由 ①得，X1+X2=-4b/3，X1X2=(2b^2-4)/3
∴n=√(k^2+1)|X1-X2|=√2|X1-X2|=√2[(X1+X2)^2-4X1X2]=√[16(6-b^2)/9]
∴b^2=(96-9n^2)/16 ③
∴由②及③得，0≤96-9n^2<96
解得，0<n^2≤32/3 ④
由题意知，n为不等于0的正整数，
∴由④解得，n=1、2、3，
∵对于每一个n可解得两个b值，共可解出6个b值
∴使AB为整数的直线l共有6条。

Answer 3

设直线方程为y=x+b，代入椭圆方程得：3x^2+4bx+2b^2-4=0，
设A、B的坐标分别为（X1，Y1)，(X2，Y2)
X1+X2=-4b/3，X1X2=(2b^2-4)/3
AB=√2|X1-X2|=√2[(X1+X2)^2-4X1X2]=√[16(6-b^2)/9]
因为AB为整数，故6-b^2=9*0.0625m^2，m为非负整数
当m=0时，b^2=6，b=±√6，AB=0
当m=1时，b^2=87/16，b=±√87/4，AB=1
当m=2时，b^2=15/4，b=±√15/2，AB=2
当m=3时，b^2=15/16，b=±√15/4，AB=3
当m=4时，6-b^2=9不成立
故使AB为整数的直线l共有8条