Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=-4/3+8交坐标轴于A、B，∠BAO的平分线交y轴于点D，过点D的直线l2：y

如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=-4/3+8交坐标轴于A、B，∠BAO的平分线交y轴于点D，过点D的直线l2：y=kx+b（k≠0）交x轴于点C。
（1）求证：△BDE≌△CDO
（2）求点D的坐标，并求出直线l2的解析式。
（3）在x轴上求点P，使△PBD的面积为△ACE面积的一半

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Answer 1

题中少了一个很关键的条件：CE垂直AB。
（1），证明：CE垂直AB，则：
∠AED=∠AOD=90度，
AD 平分∠BAO，
所以∠EAD=∠OAD，
又AD=AD，
所以 △ADE≌△ADO，
所以 DE=DO，
又∠BED=∠COD=90度，
∠BDE=∠CDO，
所以 △BDE≌△CDO。
（2），因为直线l1：y=-4/3x+8交坐标轴于A、B，
A、B坐标分别为（6，0），（0，8）。
所以 ∠BAO的正切值为：4/3，
正弦值为：4/5，余弦值:3/5。
∠DAO=1/2∠BAO，利用半角公式可得：
∠DAO的正切值为：（1-3/5）/ 4/5=1/2。
所以 OD=1/2*OA=1/2*6=3，
故 点D的坐标为（0，3）。
由 直线l1：y=-4/3x+8交坐标轴于A、B，斜率为：-4/3，
CE垂直AB，
可知：直线CE的斜率为：3/4，
所以 直线l2的解析式为：y-3=3/4x，
即 y=3/4x+3。
（3），联立y=3/4x+3，y=-4/3x+8，解方程组，得：
x=12/5，y=24/5。
故点E的坐标为（12/5，24/5）。
当y=0时，代入y=3/4x+3，得：x=-4。
故点C的坐标为（-4，0）。
所以 △ACE面积为：1/2*24/5*（6+4）=24。
要使△PBD的面积为△ACE面积的一半，即12，
而 BD=OB-OD=8-3=5，
所以 △PBD的高应为：24/5。
所以 在x轴上的点P为（-24/5，0）或（24/5，0）。