Question

已知,如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC=13,BC=24，PA‖BC，割线PBD过圆心，交⊙O于另一个点D，连接CD。

（1）求证：PA是⊙O的切线;
(2)求：⊙O的半径及CD的长。

Answer 1

（1）设AH垂直BC于点H，则AH是BC的垂直平分线，所以由OB=OC可知O在AH上
又OH垂直BC，BC平行PA，所以OH垂直PA，A又是与圆的交点
所以A一定是切点，PA是切线

（2）利用△ABC就能求出半径，BH=12
r^2=(5-r)^2+12^2
r=13/√10

另外BD是直径，所以∠C=90
而tan∠B=(5-r)/12=(5-13/√10)/12
所以CD=24×tan∠B=(5-13/√10)×2。

Answer 2

（1）证明：连接OA，设OA交BC于G．
∵AB=AC，
∴

AB
=

AC
∵OA过圆心O，
∴OA⊥BC．
∵PA∥BC，
∴OA⊥PA．
∴PA是⊙O的切线．（2分）
（2）解：∵AB=AC，OA⊥BC，
∴BG=
1
2
BC=12．
∵AB=13，
∴AG=
132-122
=5．（3分）
设⊙O的半径为R，则OG=R-5．
在Rt△OBG中，∵OB2=BG2+OG2，
∴R2=122+（R-5）2．
解得，R=16.9．（5分）
∴OG=11.9．
∵BD是⊙O的直径，
∴DC⊥BC，又OG⊥BC，
∴OG∥DC，又O是BD中点，
∴OG是△BCD的中位线．
∴DC=2OG=23.8．（7分）