Question

已知抛物线y=-x^2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n)，其中m,n是方程x^2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n

（1）求抛物线的解析式;
（2）设（1）中的抛物线与X轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C,D点的坐标和三角形BCD的面积：
p是线段OC上的一点，过点p作pH⊥X轴，交抛物线于点H，若直线BC把△pCH分成面积相等的两部分，求p点的坐标。

Answer 1

解：（1）y=-x²+bx+c
x²-6x+5=0
（x-5）（x-1）=0
x=1或x=5
根据题意
m<n
所以m=1，n=5
将（1，0）（0，5）代入
-1+b+c=0
c=5
b=-4
所以y=-x²-4x+5
（2）令y=0
x²+4x-5=0
x1+x2=-4
因为已知A（1，0）所以另一根为-4-1=-5
点C（-5，0）
y=-x²-4x+5=-（x²+4x）+5=-（x+2）²+9
点D（-2，9）
过点D作DE垂直x轴于E，则点E（-2，0）
S△BCD=S△CDE+S四边形OBDE-S△OBC
S△CDE=1/2×CE×DE=1/2×｜-5-（-2）｜×9=27/2
S四边形OBDE=1/2×（5+9）×｜-2｜=14
S△OBC=1/2×OC×OB=1/2×5×5=25/2
S△BCD=27/2+14-25/2=15
(3)根据题意，设点P坐标（a，0）
且BC连线与HP交于F，F为HP中点
点H坐标设为（a，-a²+4a+5）
直线BC方程为x/（-5）+y/5=1
y=x+5
则点F坐标为（a，a+5）
根据题意
（a+5）×2=-a²-4a+5
2a+10=-a²-4a+5
a²+6a+5=0
（a+5）（a+1）=0
a=-1或a=-5（舍去，此时P和C重合）
所以P（-1，0）

Answer 2

解：将A点B点代入原式得
0=-m^2 bm c……(1)，
n=c……(2)．
由方程x^2-6x 5=0解得
x=1或x=5，
因为m<n,
所以m=1,n=5代入(1)(2)得
b=-4,c=5，
所以抛物线解析式
为y=-x^2-4x 5

Answer 3

解X^2-6X+5得,m=1,n=5
则m(1,0),n(0,5)
把这两点代入抛物线方程，解得b=-4,c=5
所以抛物线的方程为y=-x^2-4x+5