Question

如图，等腰梯形ABCD,AB‖CD,AB大于CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于O，∠AOB=60° E,F,M分别是OD,OA,BC的中点。

求证：△EFM是等边三角形。

Answer 1

证明：连接EC，BF
因为：E，F为中点
则：EF为三角形AOD中位线，EF=1/2AD...1）
因为：AB‖CD,AD=BC，∠AOB=60°
所以：三角形AOB，DOC为等边三角形
所以：OE=1/2OD=1/D2OC
因为：∠AOB=60°
所以：三角形EOC为RT三角形，∠CEO=RT∠
因为：RT三角形CEB中M为斜边中点
所以：EM为中线，EM=1/2BC=1/2AD...2）
同理：三角形CFB中，FM为中线，FM=1/2BC=1/2AD.....3）
由：1），2）3）
有：EF=EM=FM
所以：△EFM是等边三角形

Answer 2

证明：
连接CE、BF
因为F、E是AO、OD中点
所以EF＝AD/2（中位线性质）
由等腰梯形和∠AOB＝60度的条件
可证△COD和△AOB是等边三角形
所以由“三线合一”性质知CE⊥BD，BF⊥AC
所以GE、BF分别是Rt△BCE、△BCF斜边BC上的中线
所以GE＝FG＝BC/2
因为AD＝BC
所以FG＝GE＝FE
所以△EFG是等边三角形

Answer 3

第一问：
证明：连接CS、BP；
因为等腰梯形ABCD，CD//AB，
所以OC=OD,OA=OB；
又因为∠ACD=60°，
所以三角形COD、AOB为等边三角形。
在等边三角形COD、AOB中，因为S、P分别为OD、OA中点，
所以CS垂直于BD，BP垂直于AC；
在直角三角形CSB中，因为Q是BC中点，
所以QS=1/2BC=1/AD；
又在直角三角形BCP中，因为Q是BC中点，
所以QP=1/2BC=1/AD；
所以QS=QP=1/2AD；
又因在三角形AOD中，P、S分别为OA、OD的中点，
所以PS=1/2AD；
所以QS=QP=PS
即△PQS是等边三角形！
2.由已知得，AB=OA=OB=5，CD=OC=OD=3，又角BOC=120度，由余弦定理得BC=7，所以等边三角形PQS的边长为7/2，则其面积S=49根号3/16