Question

求解 高等数学

已知函数f(x)在x=0的某个领域内连续，并f(0)=0,lim[x到0](f(x)/1-cosx)=2 问f(x)在x=0处是否取极值 取极大还是极小值
要详细过程

Answer 1

无可导不可用洛比达
lim(f(x)/1-cosx)=lim(2f(x)/x^2)=2
所以lim(f(x)/x^2)=1
根据导数定义求f‘(x)=lim(f(x)/x)=0
根据泰勒公式f(x)=f(0)+f‘(0)x+0.5f‘’(0)x^2+o(x^3)
带入极限得f‘’(0)=2大于0
所以是极小值点

Answer 2

lim[x到0] (f(x)/1-cosx)=2依题,这个极限是0/0型,用洛必达法则,
lim[x到0] f(x)'/sinx =2由于极限存在,故lim[x到0] f(x)'=f(0)'=0
这也是0/0型,lim[x到0] f(x)''/cosx=2
得f(0)''=2>0，所以取极小值