Question

在三角形ABC中，如果角A是不等于60°的锐角

在三角形ABC中，如果角A是不等于60°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且角DCB等于角EBC等于1\2角A，探究：满足上述条件的图形中是否存在等边四边形，并证明你的结论。
证明过程要写出来。

Answer 1

存在 四边形DBCE

延长CD到M 使BM⊥CM

作CN⊥OE于点N

∵BM⊥MO CN⊥CE

∴∠BMO=∠ONC=∠CNE=90°

∵∠DOB与∠NOC为对顶角

∴∠DOB=∠NOC

∵∠OBC=∠OCB

∴BO=DO

∵在Rt△MOB与Rt△NOC中

∠BMO=∠CNO

∠MOB=∠NOC

OB=OC

∴Rt△MOB≌Rt△NOC（AAS）

∴MB=NC

∵∠MDB是△BDO外角

∴∠MDB=∠ABE+∠DOB

∵∠DOB=∠A(2已证)

∴∠MDB=∠ABE+∠A

又∵∠BEC是△ABE外角

∴∠BEC=∠A+∠ABE

∴∠MDB=∠NEC

∵在Rt△MDB与Rt△NEC中

MB=NC

∠BMD=∠CNE

∠MDB=∠NEC

∴Rt△MDB≌Rt△NEC（AAS）

∴BD=EC

∴四边形DBEC是等对边四边形

Answer 2

延长CD到M 作BM⊥CM，
作CN⊥OE于点N
∵BM⊥MO CN⊥CE
∴∠BMO=∠ONC=∠CNE=90°
∵∠OBC=∠OCB
∴BO=DO
在△MOB和△NOC中，
∠BMO=∠CNO，
∠MOB=∠NOC，
OB=OC。
∴△MOB≌△NOC（AAS）
∴MB=NC
∵∠MDB=∠ABE+∠DOB，
∠DOB=∠A
∴∠MDB=∠ABE+∠A
又∵∠BEC=∠A+∠ABE
∴∠MDB=∠NEC
在△MDB和△NEC中，
∠BMD=∠CNE，
∠MDB=∠NEC，
MB=NC。
∴△MDB≌△NEC（AAS）
∴BD=EC
∴四边形DBCE是等对边四边形

Answer 3

设BE,CD的交点为O，ADOE是满足已知条件的唯一的四边形。假设其为等边四边形，则
∠A=∠DOE√
而∠BOC=∠DOE(对顶角）∠.BOD=∠COE,=∠EBC+∠DCB=∠A√
此时，4∠A=360度， ∠A=90度。与一种条件相饽。
故此证明：满足上述已知条件的图形中是不可能存在等边四边形的。